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快速排序是一种常用的排序算法，它基于分治的思想，通过将数组划分为较小的子数组，然后递归地排序这些子数组来达到排序整个数组的目的。

快速排序的基本思想是从数组中选择一个基准元素，然后通过一趟排序将数组分成两部分，以基准元素为轴，使得左边的元素都小于等于基准元素，右边的元素都大于基准元素。然后对这两部分分别进行递归排序，最终将整个数组排序。

快速排序步骤

快速排序具体步骤如下：

  1. 选择一个基准元素 pivot，可以是数组的第一个元素或最后一个元素；
  2. 设置两个指针，一个指向数组的起始位置 left，一个指向数组的结束位置 right；
  3. 从 left 指针开始向右遍历，找到下一个大于 pivot 的元素，记其索引为 i；
  4. 从 right 指针开始向左遍历，找到下一个小于等于 pivot 的元素，记其索引为 j；
  5. 如果 i<j，交换 i 和 j 处的元素；
  6. 重复步骤 3-5，直到 left 指针和 right 指针相遇；
  7. 将基准元素 pivot 与指针相遇处的元素交换。
  8. 递归地对基准元素左边的子数组和右边的子数组进行快速排序。

快速排序复杂度

快速排序的时间复杂度为 O(n×logn)O(n \times logn)，其中 nn 为数组的长度。它是一种 原地排序算法，不需要额外的存储空间，但是在最坏情况下可能会出现时间复杂度为 O(n2)O(n^2) 的情况，需要进行优化。

快速排序实现

交换两个元素

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void swap(int* a, int* b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

划分数组为两部分

通过一趟排序将数组分成两部分，以基准元素为轴，使得左边的元素都小于等于基准元素，右边的元素都大于基准元素，最后返回基准元素在数组中的索引。

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int partition(int arr[], int left, int right) {
    int pivot = arr[left];
    int i = left + 1;
    int j = right;

    while (true) {
        // 找到下一个大于 pivot 的元素
        while (i <= j && arr[i] <= pivot) {
            i++;
        }
        // 找到下一个小于等于 pivot 的元素
        while (j >= i && arr[j] > pivot) {
            j--;
        }
        // 不是在对方遍历过的区间找到的, 就交换并自增自减指针
        if (i < j) {
            swap(&arr[i++], &arr[j--]);
        } else {
            break;
        }
    }
    swap(&arr[left], &arr[j]);

    return j;
}

上面的倒数第二行代码中，为什么基准元素是与索引为 j 的元素进行交换呢？

这是因为，我们选择了区间 [left,right][left, right] 的 左边界 的元素作为了基准元素。划分后，左边都是小于等于基准元素的元素，而索引 j 右边都是大于基准元素的元素，所以基准元素是与索引为 j 的元素进行交换。

同样地，如果我们选择区间 [left,right][left, right] 右边界的元素作为了基准元素，那么代码就该这样写了：

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int pivot = arr[right];
int i = left;
int j = right - 1;
// ...
swap(&arr[right], &arr[i]);

return i;

递归实现快速排序

递归地对基准元素左边的子数组和右边的子数组进行快速排序。快速排序接口的入参为 left=0 和 right=n-1。

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void quickSort(int arr[], int left, int right) {
    if (left < right) {
        int pivot = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pivot - 1);
        quickSort(arr, pivot + 1, right);
    }
}

快速排序测试

快速排序代码

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void swap(int* a, int* b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

int partition(int arr[], int left, int right) {
    int pivot = arr[left];
    int i = left + 1;
    int j = right;

    while (true) {
        // 找到下一个大于 pivot 的元素
        while (i <= j && arr[i] <= pivot) {
            i++;
        }
        // 找到下一个小于等于 pivot 的元素
        while (j >= i && arr[j] > pivot) {
            j--;
        }
        // 不是在对方遍历过的区间找到的, 就交换并自增自减指针
        if (i < j) {
            swap(&arr[i++], &arr[j--]);
        } else {
            break;
        }
    }
    swap(&arr[left], &arr[j]);

    return j;
}

void quickSort(int arr[], int left, int right) {
    if (left < right) {
        int pivot = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pivot - 1);
        quickSort(arr, pivot + 1, right);
    }
}

快速排序测试代码

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#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

void swap(int* a, int* b);
int partition(int arr[], int left, int right);
void quickSort(int arr[], int left, int right);

void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int arr[] = {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    quickSort(arr, 0, n - 1);
    
    printf("After quickSort: ");
    printArray(arr, n);
}

测试结果

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After quickSort: 1 1 2 3 3 4 5 5 5 6 9

进阶 1：基准元素的选择

首尾基准元素

上文说，基准元素可以是「数组的第一个元素或最后一个元素」，这其实是非常不可取的，在某些情况下可能导致最差的性能。因为：

  1. 假如，初始数组就已经是一个升序数组：我们每次都选择第一元素作为基准元素，那么右指针 j 会向左遍历整个数组，但不会进行任何交换操作。这一轮划分操作的时间复杂度为 O(n)，整个排序过程的时间复杂度为 O(n^2)。
  2. 同样地，初始数组就已经是一个降序数组：我们每次都选择最后一个元素作为基准元素，那么左指针 i 会向右遍历整个数组，但不会进行任何交换操作。这一轮划分操作的时间复杂度为 O(n)，整个排序过程的时间复杂度为 O(n^2)。

随机基准元素

随机基准元素，避免了上述问题，可谓是一种再好不过的基准元素的选择办法。但是，随机数的产生是有时间成本的，不一定会使得快速排序的更快。

三数中值基准元素

三数中值是一种常用的基准元素选择方式 。它通过比较数组的第一个、中间和最后一个元素， 选择它们的中位数作为基准元素。这种方式可以在一定程度上避免最差情况的发生，并提高算法的性能。

如何选出三数的中位数在数组中的对应索引呢？多轮比较！

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int getMedianIdx(int arr[], int left, int right) {
    int mid = (left + right) / 2;

    int min = (arr[left] < arr[mid]) ? left : mid;
    min = (arr[min] < arr[right]) ? min : right;

    int max = (arr[left] > arr[mid]) ? left : mid;
    max = (arr[max] > arr[right]) ? max : right;

    if (min == left) {
        return max == right ? mid : right;
    } else if (min == right) {
        return max == left ? mid : left;
    } else {
        return max == right ? left : right;
    }
}

进阶 2：何时停止进行交换

上文的划分代码中，当左指针等于基准元素的时候并没有停止（while (i <= j && arr[i] <= pivot) {i++;}），当右指针等于基准元素的时候却停止了（while (j >= i && arr[j] > pivot) {j--;}）。那么左、右指针是否应该停止呢？

假设，未排序的初始数组的所有元素都相同，那么试想一下左、右指针指向的元素等于基准元素时的情况：

  1. 左、右指针都不停止：那么先执行 while 循环的那个指针会一直移动，直到与另一个指针相遇（另一个指针一步也没移动）。这一轮移动划分的时间复杂度为 O(n)，最后基准元素的位置还是在某一侧。下一次移动还是同样的情况，每次划分的数组的长度都是减少 1（另一个数组长度为 0）。整个排序过程的时间复杂度为 O(n^2)。
  2. 左、右指针都停止：那么两个指针会交换着各自指向的元素，来到数组中间，并将基准元素放在中间，结束本轮划分。下次划分时，左右子数组的长度都会减半。整个排序过程的时间复杂度为 O(nlogn)。
  3. 一个指针不停止、一个指针停止：等价于「左、右指针都不停止」的情况，因为情况 1 中，另一个指针就没有机会移动（就相当于停止啊）。

综上，当指针指向的元素等于基准元素时，应该停止。

优化后的快速排序代码

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void swap(int* a, int* b) {
    int temp = *a;
    *a = *b;
    *b = temp;
}

// 获取 arr[left], arr[mid], arr[right] 三数中值的索引
int getMedianIdx(int arr[], int left, int right) {
    int mid = (left + right) / 2;

    int min = (arr[left] < arr[mid]) ? left : mid;
    min = (arr[min] < arr[right]) ? min : right;

    int max = (arr[left] > arr[mid]) ? left : mid;
    max = (arr[max] > arr[right]) ? max : right;

    if (min == left) {
        return max == right ? mid : right;
    } else if (min == right) {
        return max == left ? mid : left;
    } else {
        return max == right ? left : right;
    }
}

int partition(int arr[], int left, int right) {
    // 将选中的基准元素与数组末尾元素交换,  并指定基准元素为「数组末尾元素」
    int pivotIdx = getMedianIdx(arr, left, right);
    swap(&arr[right], &arr[pivotIdx]);
    int pivot = arr[right];

    int i = left, j = right - 1;
    while (true) {
        while (i <= j && arr[i] < pivot) {
            i++;
        }
        while (j >= i && arr[j] > pivot) {
            j--;
        }
        if (i < j) {
            swap(&arr[i++], &arr[j--]);
        } else {
            break;
        }
    }
    swap(&arr[right], &arr[i]);

    return i;
}

void quickSort(int arr[], int left, int right) {
    if (left < right) {
        int pivot = partition(arr, left, right);
        quickSort(arr, left, pivot - 1);
        quickSort(arr, pivot + 1, right);
    }
}

最后留一个问题：快速排序为什么叫「快速」排序？

aha
2023-11-08
数据结构 排序算法
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