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堆排序是一种基于二叉堆数据结构的排序算法。它的主要思想是将待排序的序列构建成一个大顶堆（或小顶堆），然后 依次取出堆顶元素，将其与堆中最后一个元素交换，并调整堆，使得剩余元素仍满足堆的性质。重复这个过程，直到堆中只剩下一个待调整元素，即可得到一个有序序列。

上面说，大顶堆依次将堆顶（当前最大）元素与堆中最后一个元素交换。因此，基于大顶堆的堆排序后的结果是一个升序序列，基于小顶堆的堆排序后的结果是一个降序序列。

上面调整堆的堆化过程，是将「剩余的元素」重新构造成一个堆（通过交换的方式放在堆尾的元素不再参与堆化调整）。

堆排序步骤

按文章开头的描述，堆排序的过程可以分为两个主要步骤：构建堆和调整堆。下面以大顶堆的堆排序来进行描述。

  1. 构建堆：
    首先，将待排序的序列构建成一个初始堆。可以 从最后一个非叶子节点开始，依次向前遍历 ，对每个节点进行调整，使得该节点的值大于其子节点的值。这个过程称为堆化，可以使用 下沉操作 来实现。

  2. 调整堆：
    将堆顶元素与堆中最后一个元素交换位置，并将堆的大小减一 。然后对堆顶元素进行 下沉操作，使得剩余元素仍满足堆的性质。重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，即可得到一个有序序列。

堆排序在实际应用中具有较高的效率和稳定性，尤其适用于大规模数据的排序。

堆化的两个主要操作是下沉（弹出堆顶元素时使用）和上浮（往堆中添加新元素时使用）操作，可以参考 数据结构之堆基础与堆结构（数组实现）。

堆排序复杂度

堆排序的时间复杂度为 O(nlogn)，其中 n 是待排序序列的长度。由于堆排序只需要常数的辅助空间，因此它是一种原地排序算法，空间复杂度为 O(1)。但 堆排序是不稳定的排序算法，即相同元素的顺序可能会发生改变。

堆排序实现

从无序序列构建堆

对于给定的长度为 nn 的无序序列进行堆排序的第一个过程是：构建堆——将无序序列构建成一个二叉堆数据结构。

上面说「从最后一个非叶子节点开始，依次向前遍历」，最后一个非叶子节点的数组索引（从 00 开始）为 n/2−1n/2 - 1。

为了完成从无序序列构建堆的这一过程。我们首先给出堆化中的下沉操作。假设，我们现在已经有一个满足堆属性的数组，当我们修改了数组某一个索引位置的值时，就需要重新对这个位置，以及之前的所有位置都进行堆化调整。

例如，对于下面的大顶堆：

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    60
   /  \
  30  40
 / \
25 28

如果把索引 1 位置的值 30 修改为 70，那么索引 1 和 索引 0 都需要进行堆化调整。

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// 调整索引 1 位置
        60
       /  \
      70  40
     / \
    25 28

// 调整索引 0 位置
        70
       /  \
      60  40
     / \
    25 28

如果把索引 1 位置的值 30 修改为 15，那么索引 1 和 索引 0 也都需要进行堆化调整。

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// 调整索引 1 位置
        60
       /  \
      28  40
     / \
    25 15

// 调整索引 0 位置（满足堆属性，随即退出）
        60
       /  \
      28  40
     / \
    25 15

对于给定的长度为 n 的数组（满足堆属性），当修改了索引 i 位置的值时，堆化调整以索引 i 为根节点的子树，使这棵以索引 i 为根节点的树重新满足堆属性（但不再能保证整个数组满足堆属性，若需要整棵树都满足堆属性，还需要按顺序对以索引 i-1 到以索引 0为根的子树进行堆化调整）。

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// 下沉操作，使以索引 i 为根节点的子树满足堆属性
void heapify(int arr[], int n, int i) {
    int largest = i;  // 初始化根节点为最大值
    int left = 2 * i + 1;  // 左子节点
    int right = 2 * i + 2;  // 右子节点

    // 如果左子节点大于根节点，则更新最大值
    if (left < n && arr[left] > arr[largest]) {
        largest = left;
    }

    // 如果右子节点大于根节点，则更新最大值
    if (right < n && arr[right] > arr[largest]) {
        largest = right;
    }

    // 如果最大值不是根节点，则进行交换，并递归调整子堆
    if (largest != i) {
        int temp = arr[i];
        arr[i] = arr[largest];
        arr[largest] = temp;

        heapify(arr, n, largest);
    }
}

现在开始从最后一个非叶子节点，依次向前遍历进行下沉堆化。每遍历一个节点，都会使得以这个节点为根节点的树满足堆属性，那么当遍历完索引为 0 的位置后，整个数组将满足堆属性，构成一棵二叉堆。

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// 构建堆（从最后一个非叶子节点开始，依次向前遍历进行下沉堆化）
for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
    heapify(arr, n, i);
}

调整堆

将堆顶元素与堆中最后一个元素交换位置，并将堆的大小减一 。然后对堆顶元素进行 下沉操作，使得剩余元素仍满足堆的性质。重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，即可得到一个有序序列。

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// 依次取出堆顶元素，并调整这个更小的堆
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    int temp = arr[0];
    arr[0] = arr[i];
    arr[i] = temp;
    heapify(arr, i, 0);  // 将堆的大小减小为 i
}

堆排序完整代码

堆排序代码

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void heapify(int arr[], int n, int i);

// 堆排序
void heapSort(int arr[], int n) {
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) {
        heapify(arr, n, i);
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        heapify(arr, i, 0);
    }
}

堆排序测试代码

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#include <stdio.h>

void heapify(int arr[], int n, int i);
void heapSort(int arr[], int n);

void printArray(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d ", arr[i]);
    }
    printf("\n");
}

int main(int argc, char *argv[]) {
    int arr[] = {12, 11, 13, 5, 6, 7};
    int n = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

    printf(" 原始数组：");
    printArray(arr, n);

    heapSort(arr, n);

    printf(" 排序后数组：");
    printArray(arr, n);

    return 0;
}

测试结果

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2
原始数组：12 11 13 5 6 7
排序后数组：5 6 7 11 12 13
aha
2023-11-07
数据结构 排序算法
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